Pengertian & Perbedaan Serta Contoh Pembuktian Induksi dan Deduksi Matematika

A. Pengertian

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

Deduksi berarti penarikan kesimpulan dari keadaan yang umum atau penemuan yang khusus dari yang umum. Dengan demikian, metode deduksi (atau penalaran deduktif ,logika deduktif, deduksi logis atau logika “atas-bawah”) adalah proses penalaran dari satu atau lebih pernyataan umum (premis) untuk mencapai kesimpulan logis tertentu. Metode deduksi akan membuktikan suatu kebenaran baru berasal dari kebenaran-kebenaran yang sudah ada dan diketahui sebelumnya (berkesinambungan).

Metode deduksi umumnya dipakai pada bidang matematika ntuk membuat turunan-turunan rumus yang lebih simpel.

Penalaran deduktif menghubungkan premis-premis dengan kesimpulan. Jika semua premi benar, istilah jelas, dan aturan logika deduktif ditaati, maka kesimpulan ini tentu benar.

B. Contoh

1. Induksi

– Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2.

Persamaan yang perlu dibuktikan:

S(n) = 1 + 3 + 5 +\cdots + 2n - 1 = n ^ 2

Langkah pembuktian pertama:
untuk \ n = 1 , benar bahwa \ S(1) = 1 ^ 2 = 1

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk n = k , yaitu

S(k) = 1 + 3 + 5 + \cdots + 2k - 1 = k ^ 2 , maka akan dibuktikan benar pula untuk n = k + 1 , yaitu
S(k + 1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + 2k - 1 + 2(k + 1) - 1 =(k + 1) ^ 2

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa k ^ 2 = 1 + 3 + 5 + ... + 2k - 1 sesuai dengan pengandaian awal

[1 + 3 + 5 + \cdots + 2k - 1] + 2(k + 1) - 1 = k ^ 2 + 2(k + 1) - 1

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

\ k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 , ingat bahwa (k + 1) ^ 2 = k ^ 2 + 2k + 1
\ (k + 1) ^ 2 = (k + 1) ^ 2 (terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli karena memenuhi kedua langkah pembuktian.

2. Deduksi

Premis 1: y = 3x + 5

Premis 2: x=2

Kesimpulan: y = 11

Sumber : Wikipedia

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s